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牛顿分形就是分形的一种,它与解方程的牛顿法(跟优化中的牛顿法是不同的方法)紧密相关,下面讲述如何画出牛顿分形。假如需要求解方程:

\[ f(x)=0\]

其中, $x$的定义域是整个复平面。如何求解这个方程的解呢?我们可以用牛顿法。牛顿法是一种数值解法,我们首先会估算一个“比较好”的初始值 $x_0$,然后使用迭代公式:

\[ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \]

牛顿法可以确保,如果初始猜测值在根附近,那么迭代必然收敛。而且牛顿法是个二阶方法,收敛速度相当的快。下图是迭代一步的示意图:

 

Newton法

在$x_1$ 处沿着方向$\frac{f\left(x_{1}\right)}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}$ 下降,与$x$轴的交点即为$x_2$ ,循环往复就能得到方程的根。 学过中学数学的我们都知道, $n$ 次方程在复数域上有$n$ 个根,那么用牛顿法收敛的根就可能有$n$个目标。牛顿法收敛到哪个根取决于迭代的起始值。根据最后的收敛结果,我们把所有收敛到同一个根的起始点画上同一种颜色,最终就形成了牛顿分形图。下图中展示的是方程$x^3-1=0$ 的情形:

图中的三种颜色代表了收敛的三个根,分别为$-0.5+0.866i,-0.5-0.866i$和$1$。左上角都是黄色的,代表了如果把左上角的点作为牛顿法迭代的初始值,最终会收敛到$-0.5+0.866i$,左下角是蓝色,代表这些初始值会收敛到$-0.5-0.866i$,右边是红色,代表会收敛到$1$。神奇的是,中间的三个带状区域,是红黄蓝交错的,而且无限重复自己的细节。

 

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