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对于实数系数或复数系数的一元四次方程 \(x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0   \) 有以下公式解(证明过程暂时略去,先请大家看看有没有错误)。令:

\( u=1728 b^2 e - 576 b c d + 128 c^3 - 4608 c e + 1728 d^2; \)
\(    v =  48 b d - 16 c^2 - 192 e;     \)
\(  p =\sqrt[3]{\sqrt{u^2 + 4 v^3}+u} ; \)
\( q =\sqrt{\frac{6pb^2+\sqrt[3]{4}p^2-16cp-2\sqrt[3]{2}v}{p}};  \)
\(A=\sqrt{\frac{1}{6}(6b^2-16c-\frac{2\sqrt[3]{2}v}{p}+\sqrt[3]{4}p)};  \)
\(m1=24\sqrt{6}pb^2+8\sqrt[6]{2}\sqrt{3}p^2-64\sqrt{6}cp-8\sqrt[6]{32}\sqrt{3}v ;\)
\(m2=24pqb ;\)
\(n1=2\sqrt[6]{2}\sqrt{3}bp^2+8\sqrt{6}bcp-48\sqrt{6}dp-2\sqrt[6]{32}\sqrt{3}bv ;\)     
\(n2=2\sqrt[3]{4}qb^2+8cpq-2\sqrt[3]{2}qv; \)   
  
原方程的四个根为:

\(x1=\frac{-(m1+m2)+\sqrt{(m1+m2)^2-192pq(n1+n2)}}{96pq}; \)
\(x2=\frac{-(m1+m2)-\sqrt{(m1+m2)^2-192pq(n1+n2)}}{96pq}; \)
\(x3=\frac{(m1-m2)+\sqrt{(m1-m2)^2-192pq(-n1+n2)}}{96pq}; \)
\(x4=\frac{(m1-m2)-\sqrt{(m1-m2)^2-192pq(-n1+n2)}}{96pq}; \)

下面是另外的解法:

对于一元四次方程

$$ a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e=0 $$

记:

$$\left\{\begin{array}{l}\Delta_{1}=c^{2}-3 b d+12 a e \\ \Delta_{2}=2 c^{3}-9 b c d+27 a d^{2}+27 b^{2} e-72 a c e\end{array}\right.$$

并记:

$$ \Delta=\frac{\sqrt[3]{2} \Delta_{1}}{3 a \sqrt[3]{\Delta_{2}+\sqrt{-4\Delta_{1}^{3}+\Delta_{2}^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{\Delta_{2}+\sqrt{-4\Delta_{1}^{3}+\Delta_{2}^{2}}}}{3 \sqrt[3]{2} a} $$

则有:

$$\begin{cases} x_{1}=-\frac{b}{4 a}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{2 a^{2}}-\frac{4 c}{3 a}-\Delta-\frac{-\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{4 b c}{a^{2}}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}}} \\ x_{2}=-\frac{b}{4 a}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{2 a^{2}}-\frac{4 c}{3 a}-\Delta-\frac{-\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{4 b c}{a^{2}}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}}} \\ x_{3}=-\frac{b}{4 a}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{2 a^{2}}-\frac{4 c}{3 a}-\Delta+\frac{-\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{4 b c}{a^{2}}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}}} \\ x_{4}=-\frac{b}{4 a}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{2 a^{2}}-\frac{4 c}{3 a}-\Delta+\frac{-\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{4 b c}{a^{2}}-\frac{8 d}{a}}{4 \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{2 c}{3 a}+\Delta}}} \\ \end{cases} $$